Приоритетность на эффективность работы смо разных типов. На практическом занятии рассмотрим этот путь и сравним результаты моделирования с теоретическим решением. Математическое описание СМО

Показатели эффективности СМО

абсолютная и относительная пропускная способность системы;
коэффициенты загрузки и простоя;
среднее время полной загрузки системы;
среднее время пребывания заявки в системе.

Показатели, характеризующие систему с точки зрения потребителей :

P обс – вероятность обслуживания заявки,
t сист – время пребывания заявки в системе.

Показатели, характеризующие систему с точки зрения её эксплуатационных свойств :

λ b – абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуженных заявок в единицу времени),
P обс – относительная пропускная способность системы,
k з – коэффициент загрузки системы.

см. также Параметры экономической эффективности СМО

Задача . В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Решение. По условию n=3, λ=0,25(1/ч), t об. =3 (ч). Интенсивность потока обслуживаний μ=1/t об. =1/3=0,33. Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24) ρ=0,25/0,33=0,75. Найдем предельные вероятности состояний:
по формуле (25) p 0 =(1+0,75+0,75 2 /2!+0,75 3 /3!) -1 =0,476;
по формуле (26) p 1 =0,75∙0,476=0,357; p 2 =(0,75 2 /2!)∙0,476=0,134; p 3 =(0,75 3 /3!)∙0,476=0,033 т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% - две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени - три заявки (заняты три ЭВМ).
Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, P отк. =p 3 =0,033.
По формуле (28) относительная пропускная способность центра Q = 1-0,033 = 0,967, т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.
По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра A= 0,25∙0,967 = 0,242, т.е. в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.
По формуле (30) среднее число занятых ЭВМ k =0,242/0,33 = 0,725, т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5/3 =24,2%.
При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны - значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.

Задача . В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.
Решение. Имеем ρ = λ/μ = μt об. =0,4∙2=0,8. Так как ρ = 0,8 < 1, то очередь на разгрузку не может бесконечно возрастать и предельные вероятности существуют. Найдем их.
Вероятность того, что причал свободен, по (33) p 0 = 1 - 0,8 = 0,2, а вероятность того, что он занят, P зан. = 1-0,2 = 0,8. По формуле (34) вероятности того, что у причала находятся 1, 2, 3 судна (т.е. ожидают разгрузки 0, 1, 2 судна), равны p 1 = 0,8(1-0,8) = 0,16; p 2 = 0,8 2 ∙(1-0,8) = 0,128; p 3 = 0,8 3 ∙(1-0,8) = 0,1024.
Вероятность того, что ожидают разгрузку не более чем 2 судна, равна
P=p 1 +p 2 +p 3 = 0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,3904
По формуле (40) среднее число судов, ожидающих разгрузки
L jч =0,8 2 /(1-0,8) = 3,2
а среднее время ожидания разгрузки по формуле (15.42)
T оч =3,2/0,8 = 4 сутки.
По формуле (36) среднее число судов, находящихся у причала, L сист. = 0,8/(1-0,8) = 4 (сутки) (или проще по (37) L сист. = 3,2+0,8 = 4 (сутки), а среднее время пребывания судна у причала по формуле (41) T сист = 4/0,8 = 5 (сутки).
Очевидно, что эффективность разгрузки судов невысокая. Для ее повышения необходимо уменьшение среднего времени разгрузки судна t об либо увеличение числа причалов n .

Задача . В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью λ = 81 чел. в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя t об = 2 мин. Определить:
а. Минимальное количество контролеров-кассиров п min , при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n=n min .
б. Оптимальное количество n опт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат С отн., связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=n min и n=n опт.
в. Вероятность того, что в очереди будет не более трех покупателей.
Решение.
а. По условию l = 81(1/ч) = 81/60 = 1,35 (1/мин.). По формуле (24) r = l/ m = lt об = 1,35×2 = 2,7. Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии r/n < 1, т.е. при n > r = 2,7. Таким образом, минимальное количество контролеров-кассиров n min = 3.
Найдем характеристики обслуживания СМО при п = 3.
Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, по формуле (45) p 0 = (1+2,7+2,7 2 /2!+2,7 3 /3!+2,7 4 /3!(3-2,7)) -1 = 0,025, т.е. в среднем 2,5% времени контролеры-кассиры будут простаивать.
Вероятность того, что в узле расчета будет очередь, по (48) P оч. = (2,7 4 /3!(3-2,7))0,025 = 0,735
Среднее число покупателей, находящихся в очереди, по (50) L оч. = (2,7 4 /3∙3!(1-2,7/3) 2)0,025 = 7,35.
Среднее время ожидания в очереди по (42) T оч. = 7,35/1,35 = 5,44 (мин).
Среднее число покупателей в узле расчета по (51) L сист. = 7,35+2,7 = 10,05.
Среднее время нахождения покупателей в узле расчета по (41) T сист. = 10,05/1,35 = 7,44 (мин).
Таблица 1

Характеристика обслуживания	Число контролеров-кассиров
Характеристика обслуживания	3	4	5	6	7
Вероятность простоя контролеров-кассиров p 0	0,025	0,057	0,065	0,067	0,067
Среднее число покупателей в очереди T оч.	5,44	0,60	0,15	0,03	0,01
Относительная величина затрат С отн.	18,54	4,77	4,14	4,53	5,22

Среднее число контролеров-кассиров, занятых обслуживанием покупателей, по (49) k = 2,7.
Коэффициент (доля) занятых обслуживанием контролеров-кассиров
= ρ/n = 2,7/3 = 0,9.
Абсолютная пропускная способность узла расчета А = 1,35 (1/мин), или 81 (1/ч), т.е. 81 покупатель в час.
Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии трех контролеров-кассиров.
б. Относительная величина затрат при n = 3
C отн. = = 3/1,35+3∙5,44 = 18,54.
Рассчитаем относительную величину затрат при других значениях п (табл. 1).
Как видно из табл. 2, минимальные затраты получены при n = n опт. = 5 контролерах-кассирах.
Определим характеристики обслуживания узла расчета при n = n опт. =5. Получим P оч. = 0,091; L оч. = 0,198; Т оч. = 0,146 (мин); L сист. = 2,90; T снст. = 2,15 (мин); k = 2,7; k 3 = 0,54.
Как видим, при n = 5 по сравнению с n = 3 существенно уменьшились вероятность возникновения очереди P оч. , длина очереди L оч. и среднее время пребывания в очереди T оч. и соответственно среднее число покупателей L сист. и среднее время нахождения в узле расчета T сист., а также доля занятых обслуживанием контролеров k 3. Но среднее число занятых обслуживанием контролеров-кассиров k и абсолютная пропускная способность узла расчета А естественно не изменились.
в. Вероятность того, что в очереди будет не более 3 покупателей, определится как
= 1- P оч. + p 5+1 + p 5+2 + p 5+3 , где каждое слагаемое найдем по формулам (45) – (48). Получим при n=5:

Заметим, что в случае n=3 контролеров-кассиров та же вероятность существенно меньше: P(r ≤ 3) =0,464.

Расчет показателей эффективности открытой одноканальной СМО с отказами. Расчет показателей эффективности открытой многоканальной СМО с отказами. Расчет показателей эффективности многоканальной СМО с ограничением на длину очереди. Расчет показателей эффективности многоканальной СМО ожиданием.

1. Потоки заявок в СМО

2. Законы обслуживания

3. Критерии качества работы СМО

5. Параметры моделей очередей. При анализе систем массового

6. I. Модель А – модель одноканальной системы массового обслуживания с Пуассоновским входным потоком заявок и Экспоненциальным временем обслуживания.

7. II. Модель В – многоканальная система обслуживания.

8. III. Модель С – модель с постоянным временем обслуживания.

9. IV. Модель D – модель с ограниченной популяцией.

Потоки заявок в СМО

Потоки заявок бывают входные и выходные.
Входной поток заявок – это временная последовательность событий на входе СМО, для которой появление события (заявки) подчиняется вероятностным (или детерминированным) законам. Если требования на обслуживание приходят в соответствие, с каким – либо графиком (например, автомобили приезжают на АЗС каждые 3 минуты) то такой поток подчиняется детерминированным (определенным) законам. Но, как правило, поступление заявок подчиняется случайным законам.
Для описания случайных законов в теории массового обслуживания вводится в рассмотрение модель потоков событий. Потоком событий называется последовательность событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени .
В качестве событий могут фигурировать поступление заявок на вход СМО (на вход блока очереди), появление заявок на входе прибора обслуживания (на выходе блока очереди) и появление обслуженных заявок на выходе СМО.

Потоки событий обладают различными свойствами, которые позволяют различать различные типы потоков. Прежде всего, потоки могут быть однородными инеоднородными.
Однородные потоки – такие потоки, в которых поток требований обладает одинаковыми свойствами: имеют приоритет первым пришел – первым обслужен, обрабатываемые требования имеют одинаковые физические свойства.
Неоднородные потоки – такие потоки, в которых требования обладают неодинаковыми свойствами: требования удовлетворяются по принципу приоритетности (пример, карта прерываний в ЭВМ), обрабатываемые требования имеют различные физические свойства.
Схематично неоднородный поток событий может быть изображен следующим образом

Соответственно можно использовать несколько моделей СМО для обслуживания неоднородных потоков: одноканальная СМО с дисциплиной очереди, учитывающей приоритеты неоднородных заявок, и многоканальная СМО с индивидуальным каналом для каждого типа заявок.
Регулярным потоком называется поток, в котором события следуют одно за другим через одинаковые промежутки времени. Если обозначить через – моменты появления событий, причем , а через интервалы между событиями, то для регулярного потока

Рекуррентный поток соответственно определяется как поток, для которого все функции распределения интервалов между заявками

совпадают, то есть

Физически рекуррентный поток представляет собой такую последовательность событий, для которой все интервалы между событиями как бы "ведут себя" одинаково, т.е. подчиняются одному и тому же закону распределения. Таким образом, можно исследовать только один какой-нибудь интервал и получить статистические характеристики, которые будут справедливы для всех остальных интервалов.
Для характеристики потоков очень часто вводят в рассмотрение вероятность распределения числа событий в заданном интервале времени , которая определяется следующим образом:

где – число событий, появляющихся на интервале .
Поток без последействия характеризуется тем свойством, что для двух непересекающихся интервалов времени и , где , , , вероятность появления числа событий на втором интервале не зависит от числа появления событий на первом интервале.

Отсутствие последействия означает отсутствие вероятностной зависимости последующего течения процесса от предыдущего. Если имеется одноканальная СМО с временем обслуживания , то при потоке заявок без последействия на входе системы выходной поток будет с последействием, так как заявки на выходе СМО не появляются чаще чем интервал . В регулярном потоке, в котором события следуют друг за другом через определенные промежутки времени, имеется самое жесткое последействие.
Потоком с ограниченным последействием называется такой поток, для которого интервалы между событиями независимы.
Поток называется стационарным, если вероятность появления какого-то числа событий на интервале времени зависит только от длины этого интервала и не зависит от его расположения на оси времени. Для стационарного потока событий среднее число событий в единицу времени постоянно.
Ординарным потоком называется такой поток, для которого вероятность попадания на данный малый отрезок времени dt двух и более требований пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью попадания одного требования.
Поток, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности называют пуассоновским (простейшим). Этот поток занимает центральное место среди всего многообразия потоков, так же как случайные величины или процессы с нормальным законом распределения в прикладной теории вероятности.
Пуассоновский поток описывается следующей формулой:
,
где – вероятность появления событий за время , – интенсивность потока.
Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются за единицу времени.
Для пуассоновского потока интервалы времени между заявками распределены по экспоненциальному закону

Потоком с ограниченным последействием, для которого интервалы времени между заявками распределены по нормальному закону, называется нормальным потоком.

Законы обслуживания

Режим обслуживания (время обслуживания), так же как и режим поступления заявок, может быть либо постоянным, либо случайным. Во многих случаях время обслуживания подчиняется экспоненциальному распределению.
Вероятность того, что обслуживание закончится до момента t, равна:

где – плотность потока заявок
Откуда плотность распределения времени обслуживания

Дальнейшим обобщением экспоненциального закона обслуживания может служить закон распределения Эрланга, когда каждый интервал обслуживания подчиняется закону:

где – интенсивность исходного пуассоновского потока, k – порядок потока Эрланга.

Критерии качества работы СМО

Эффективность работы СМО оценивается различными показателями в зависимости от цепи и типа СМО. Наибольшее распространение получили следующие:

Абсолютная пропускная способность СМО с отказами (производительность системы) – среднее число требований, которые может обработать система.

Относительная пропускная способность СМО – отношение среднего числа требований, обработанных системой, к среднему числу требований, поступивших на вход СМО.

Средняя длительность простоя системы.

Для СМО с очередью добавляются такие характеристики:
Длина очереди, которая зависит от ряда факторов: от того, когда и сколько требований поступило в систему, сколько времени затрачено на обслуживание требований, которые поступили. Длина очереди является случайной величиной. От длины очереди зависит эффективность работы системы массового обслуживания.

Для СМО с ограниченным ожиданием в очереди важны все перечисленные характеристики, а для систем с неограниченным ожиданием абсолютная и относительная пропускная способности СМО теряют смысл.

На рис. 1 приведены системы обслуживания различной конфигурации.

Параметры моделей очередей. При анализе систем массового обслуживания используются технические и экономические характеристики.

Наиболее часто используются следующие Технические характеристики:

1) среднее время, которое клиент проводит в очереди;

2) средняя длина очереди;

3) среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания (время ожидания плюс время обслуживания);

4) среднее число клиентов в системе обслуживания;

5) вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой;

6) вероятность определенного числа клиентов в системе.

Среди Экономических характеристик наибольший интерес представляют следующие:

1) издержки ожидания в очереди;

2) издержки ожидания в системе;

3) издержки обслуживания.

Модели систем массового обслуживания . В зависимости от сочетания приведенных выше характеристик могут рассматриваться различные модели систем массового обслуживания.

Здесь мы ознакомимся с несколькими наиболее известными моделями. Все они имеют следующие общие характеристики:

А) пуассоновское распределение вероятностей поступления заявок;

Б) стандартное поведение клиентов;

В) правило обслуживания FIFO (первым пришел - первым обслужен);

Г) единственная фаза обслуживания.

I. Модель А - модель одноканальной системы массового обслуживания М/М/1 с Пуассоновским входным потоком заявок и Экспоненциальным временем обслуживания.

Наиболее часто встречаются задачи массового обслуживания с единственным каналом. В этом случае клиенты формируют одну очередь к единственному пункту обслуживания. Предположим, что для систем этого типа выполняются следующие условия:

1. Заявки обслуживаются по принципу «первым пришел - первым обслужен» (FIFO), причем каждый клиент ожидает своей очереди до конца независимо от длины очереди.

2. Появления заявок являются независимыми событиями, однако среднее число заявок, поступающих в единицу времени, неизменно.

3. Процесс поступления заявок описывается пуассоновским распределением, причем заявки поступают из неограниченного множества.

4. Время обслуживания описывается экспоненциальным распределением вероятностей.

5. Темп обслуживания выше темпа поступления заявок.

Пусть λ – число заявок в единицу времени;

μ – число клиентов, обслуживаемых в единицу времени;

n – число заявок в системе.

Тогда система массового обслуживания описывается уравнениями, приведенными ниже.

Формулы для описания системы М/М/1:

Среднее время обслуживания одного клиента в системе (время ожидания плюс время обслуживания);

Среднее число клиентов в очереди;

Среднее время ожидания клиента в очереди;

Характеристика загруженности системы (доля времени, в течение которого система занята обслуживанием);

Вероятность отсутствия заявок в системе;

Вероятность того, что в системе находится более чем K заявок.

II. Модель В - многоканальная система обслуживания M/M/S. В многоканальной системе для обслуживания открыты два канала или более. Предполагается, что клиенты ожидают в общей очереди и обращаются в первый освободившийся канал обслуживания.

Пример такой многоканальной однофазовой системы можно увидеть во многих банках: из общей очереди клиенты обращаются в первое освободившееся окошко для обслуживания.

В многоканальной системе поток заявок подчиняется Пуассоновскому закону, а время обслуживания -Экспоненциальному. Приходящий первым обслуживается первым, и все каналы обслуживания работают в одинаковом темпе. Формулы, описывающие модель В, достаточно сложны для использования. Для расчета параметров многоканальной системы обслуживания удобно использовать соответствующее программное обеспечение.

Время нахождения заявки в очереди;

Время нахождения заявки в системе.

III. Модель С - модель с постоянным временем обслуживания M/D/1.

Некоторые системы имеют Постоянное, а не экспоненциально распределенное время обслуживания. В таких системах клиенты обслуживаются в течение фиксированного периода времени, как, например, на автоматической мойке автомобилей. Для модели С С постоянным темпом обслуживания значения величин Lq и Wq Вдвое меньше, чем соответствующие значения в модели А, имеющей переменный темп обслуживания.

Формулы, описывающие модель С:

Средняя длина очереди;

Среднее время ожидания в очереди;

Среднее число клиентов в системе;

Среднее время ожидания в системе.

IV. Модель D - модель с ограниченной популяцией.

Если число потенциальных клиентов системы обслуживания Ограничено, мы имеем дело со специальной моделью. Такая задача может возникнуть, например, если речь идет об обслуживании оборудования фабрики, имеющей пять станков.

Особенность этой модели по сравнению с тремя рассмотренными ранее в том, что существует Взаимозависимостьмежду длиной очереди и темпом поступления заявок.

V. Модель Е - модель с ограниченной очередью. Модель отличается от предыдущих тем, что число мест в очереди Ограничено. В этом случае заявка, прибывшая в систему, когда все каналы и места в очереди заняты, покидает систему необслуженной, т. е. получает отказ.

Как частный случай модели с ограниченной очередью можно рассматривать Модель с отказами, если количество мест в очереди сократить до нуля.

1. Интенсивность потока обслуживания заявок

2. Коэффициент загрузки СМО

3. Вероятность образования очереди

4. Вероятность отказа системы

5. Пропускная способность

6. Среднее число заявок, находящихся в очереди

7. Среднее число заявок, обслуживаемых СМО

8. Среднее число заявок, находящихся в СМО

9. Среднее время заявки в СМО

10. Среднее время пребывания заявки в очереди

11. Среднее число занятых каналов.

Судить о качестве полученной системы нужно по сов-ти значений показателей. При анализе результатов моделирования важно обращать внимание на интересы клиента и владельца системы. В частности, следует min-ть или max-ть тот или иной показатель.

26. Одноканальная СМО

27. Одноканальная СМО с отказами

28. Многоканальная СМО с ограниченной очередью

Параметры СМО:

o Интенсивность потока заявок.

o Интенсивность потока обслуживания.

o Среднее t обслуживания заявки.

o Кол-во каналов обслуживания.

o Дисциплина обслуживания.

< СМО на примере работы АЗС. Несколько одинак. колонок, произв-ть кот.известна. Если колонки заняты, то обслуживание в очереди м. ждать не > 3х машин одновременно. Очередь считаем общей. Если все места в очереди заняты, то машина получает отказ в обслуживании.

29. Транспортная задача

- широкий круг задач не только транспортного хар-ра, распределение ресурсов, наход-ся у неск. поставщиков, д/другого произвольного числа потребителей. Д/перевозчиков наиболее часто отн-ся к транспорту:

1. Привязка потребителей к ресурсам производителей.

2. Привязка к пунктам назначения пунктов отправления.

3. Взаимопривязка грузопотока прямого и обратного направления.

4. Оптимальное распределение V выпуска промышл. продукции м/у изготов-ми.

< модель привязки к пункту назначения. Известны: пункты отправления и назначения, объемы отправления по к-му пункту, потребность в грузе, стоимость доставки по каждому варианту. Н. оптимальный план перевозок с min транспортными издержками.

30. Тр. задача закрытая - ∑Vотправл. грузов= ∑V потреб-ти в этом грузе, т.е. ∑ai=∑bj (m – число поставщиков, n – число потребителей).

31 . Если это условие невозможно – открытая тр. задача . Тогда ее надо привести к закрытой:

1. Если потребность пунктов назначения превышает запасы пунктов отправления, то вводится фиктивный поставщик с недостающимV отправления.

2. Весь запас поставщиков > потребности, то ввод-сяфикт. потребитель.

32. Алгоритм решения задачи методом потенциалов (этапы):

1. Разработка начального плана (опорного решения).

2. Расчет потенциалов.

3. Проверка плана на оптимальность.

4. Поиск max звена не оптимальности (если п.3 не выполнен)

5. Составление контура перераспределения ресурсов.

6. Определение min эл-та в контуре перераспр-ния и перераспр. ресурсов по контуру.

7. Получение нового плана.

Эта процедура повторяется несколько раз, пока не будет найдено оптимальное решение. Алгоритм остается неизменным.Методы отыскания начального плана:

1. Метод С-З угла

2. Метод min стоимости

3. Метод двойного предпочтения

Метод потенциалов позволяет за конечное число планов найти оптимальный. (Метод Фогеля) Метод потенциалов разработан д/классич. транспорт.задач, но такие встречаются редко, приходится вводить ряд ограничений.

33. В экономике организации встреч-ся норма задач, кот.м.б. сведены к транспортной задаче:

1. Отд. поставки от опред. поставщиков некот. потребителями д.б. исключены из-за отсутствия необх. усл. хранения, перегрузки коммуникаций, и т.д.

2. Организ. необх. опред. min ∑затраты на пр-во и транспортировку продукции. М. оказаться экономич. более выгодным доставлять сырье из более отдал.пунктов, но при <себест-ти. Критерий оптимальности принимает ∑ затрат на пр-во и тран-ку.

3. Ряд трансп. маршрутов имеют ограничения по пропускной спос-ти.

4. Поставки по определ. маршрутам обязательны и обязат. д. войти в оптим. план.

5. Экономическая задача не является транспортной. (Пр. – распределение произв. изделий м/у предприятиями).

6. Необходимость max-ть целевую ф-ю задачи транспортного типа.

7. Необходимость в одно и то же t распределить груз различного рода по потребителям – Многопродуктовая транспортная задача .

8. Доставка грузов в краткий срок. (Метод потенциалов не пригоден, решается с пом. спец. алгоритма).

34. Транспортная задача в сетевой подстановке

Если условие транспортной задачи задано в виде схемы, на кот.изображены поставщики, потребители и связыв. их дороги, указаны величины запасов груза и потребностей в нем и показатели критерия оптимальности (тарифы, расстояния).В вершинах (узлах) сети изображают поставщиков и потребителей. Запасы груза считают положительными, а потребности отрицательными числами. Ребра (дуги) сети – дороги.Решение трансп. задачи в сетевой постановке основано на методе потенциалов и нач-ся с построения начального опорного плана, который должен удовлетворять требованиям:

1. Все запасы должны быть распределены, а потребители удовлетворены.

2. Для каждой вершины должна быть указана поставка груза (+ или -)

3. Общее количество поставок должно быть на 1 меньше числа вершин.

4. Стрелки, которыми обозначают поставки, не д. образовывать замкн. контур.

Затем план проверяют на оптимальность, для чего вычисляют потенциалы. Получают новый план и снова исследуют на оптимальность. Определяют значение целевой функции.

В случае открытой модели вводят фиктивного потребителя или поставщика.

35. Д/решения научных и практических задач в области логистики прим. основные методы:

1. Методы системного анализа

2. Методы теории исследования операции

3. Кибернетические методы

4. Метод прогнозирования

5. Методы экспертных оценок

6. Методы моделирования

36. Наиболее часть в логистике применяется имитац. моделирование, в кот.закономерности, определяющие количественное отношение остаются неизвестными, а сам логистический процесс остается «черным ящиком» или «серым ящиком».

К основным процессам имитац. моделирования отн-ся:

1. Конструирование модели реальной системы.

2. Постановка экспериментов на этой модели.

Цели моделирования:

o Определение поведения логистической системы.

o Выбор стратегии д/обеспеч. наиб.эфф-го функционирования логистич. системы.

Имитац. моделирование целесообразно исполнять, когда вып-ся условия:

1. Не сущ. законченой постановки задач или не разработаны аналитические методы решения сформулиров. матем. модели.

2. Аналитич. модель имеется, но процедуры сложны и трудоемки, сл. имитац. моделирование дает более простой способ решения задачи.

3. Аналитич. решения сущ., но их реализация невозможна из-за недостаточной математической подготовки персонала.

37. Широкое применение в логистике нашли экспертные системы – спец. комп.программы, кот. помогают специалистам принимать решения, связ. с управлением материальным потоком.

Экспертная система позволяет:

1. Принимать быстрые и качественные решения в области управления материальными потоками.

2. подготовить опытных специалистов за отн-но короткий срок.

4. Использовать опыт и знания высококвалифицированных специалистов на различных рабочих местах.

Недостатки экспертной системы:

1. Ограниченные воз-ти использования здравого смысла.

2. Невозм-но учесть все особенности в программе экспертной системы.

1. Показатели эффективности использования СМО:

Абсолютная пропускная способность СМО – среднее число заявок, которое смо-

жет обслужить СМО в единицу времени.

Относительная пропускная способность СМО – отношение среднего числа заявок,

обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших за это же

время заявок.

Средняя продолжительность периода занятости СМО.

Коэффициент использования СМО – средняя доля времени, в течение которого

СМО занята обслуживанием заявок, и т.п.

2. Показатели качества обслуживания заявок:

Среднее время ожидания заявки в очереди.

Среднее время пребывания заявки в СМО.

Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.

Вероятность того, что вновь поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.

Закон распределения времени ожидания заявки в очереди.

Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.

Среднее число заявок, находящихся в очереди.

Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.

3. Показатели эффективности функционирования пары «СМО – клиент», где под «клиентом» понимают всю совокупность заявок или некий их источник. К числу таких показателей относится, например, средний доход, приносимый СМО в единицу времени

Классификация систем массового обслуживания

По числу каналов СМО:

одноканальные (когда имеется один канал обслуживания)

многоканальные , точнее n -канальные (когда количество каналов n ≥ 2).

По дисциплине обслуживания:

1. СМО с отказами , в которых заявка, поступившая на вход СМО в момент, когда все

каналы заняты, получает «отказ» и покидает СМО («пропадает»). Чтобы эта заявка все же

была обслужена, она должна снова поступить на вход СМО и рассматриваться при этом как заявка, поступившая впервые. Примером СМО с отказами может служить работа АТС: если набранный телефонный номер (заявка, поступившая на вход) занят, то заявка получает отказ, и, чтобы дозвониться по этому номеру, следует его набрать еще раз.

2. СМО с ожиданием (неограниченным ожиданием или очередью ). В таких системах

заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, становится в очередь и ожидает освобождения канала, который примет ее к обслуживанию. Каждая заявка, поступившая на вход, в конце концов будет обслужена. Такие СМО часто встречаются в торговле, в сфере бытового и медицинского обслуживания, на предприятиях (например, обслуживание станков бригадой наладчиков).

3. СМО смешанного типа (с ограниченным ожиданием ). Это такие системы, в которых на пребывание заявки в очереди накладываются некоторые ограничения.

Эти ограничения могут накладываться на длину очереди , т.е. максимально возможное

число заявок, которые одновременно могут находиться в очереди. В качестве примера такой системы можно привести мастерскую по ремонту автомобилей, имеющую ограниченную по размерам стоянку для неисправных машин, ожидающих ремонта.

Ограничения ожидания могут касаться времени пребывания заявки в очереди , по исте-

чению которого она выходит из очереди и покидает систему).

В СМО с ожиданием и в СМО смешанного типа применяются различные схемы об-

служивания заявок из очереди. Обслуживание может быть упорядоченным , когда заявки из очереди обслуживаются в порядке их поступления в систему, и неупорядоченным , при котором заявки из очереди обслуживаются в случайном порядке. Иногда применяется обслуживание с приоритетом , когда некоторые заявки из очереди считаются приоритетными и поэтому обслуживаются в первую очередь.

По ограничению потока заявок:

замкнутые и открытые .

Если поток заявок ограничен и заявки, покинувшие систему, могут в нее возвращать-

ся, то СМО является замкнутой , в противном случае – открытой .

По количеству этапов обслуживания:

однофазные и многофазные

Если каналы СМО однородны, т.е. выполняют одну и ту же операцию обслужива-

ния, то такие СМО называются однофазными . Если каналы обслуживания расположены последовательно и они неоднородны, так как выполняют различные операции обслуживания (т.е. обслуживание состоит из нескольких последовательных этапов или фаз), то СМО называется многофазной . Примером работы многофазной СМО является обслуживание автомобилей на станции технического обслуживания (мойка, диагностирование и т.д.).

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовой проект

Сравнительный анализ эффективности простейши х систем массового обслуживания

Введение

массовый обслуживание производительность

В производственной деятельности и повседневной жизни часто возникают ситуации, когда появляется крайне важность в обслуживании требований или заявок поступающих в систему. Часто встречаются ситуации, в которых крайне важно пребывать в ситуации ожидания. Примерами тому может служить очередь покупателей у касс большого магазина, группа пассажирских самолетов, ожидающих разрешения на взлет в аэропорте, ряд вышедших из строя станков и механизмов, поставленных в очередь для починки в ремонтном цехе предприятия и т.д. Иногда системы обслуживания обладают ограниченными возможностями для удовлетворения спроса, и это приводит к образованию очередей. Как правило, ни время возникновения потребностей в обслуживании, ни продолжительность обслуживания заранее не известны. Избежать ситуации ожидания чаще всего не удается, но можно сократить время ожидания до какого-то терпимого предела.

Предметом теории массового обслуживания являются системы массового обслуживания (СМО). Задачами теории массового обслуживания являются анализ и исследование явлений, возникающих в системах обслуживания. Одна из базовых задач теории заключается в определении таких характеристик системы, которые обеспечивают заданное качество функционирования, к примеру, минимум времени ожидания, минимум средней длины очереди. Цель изучения режима функционирования обслуживающей системы в условиях, когда фактор случайности является существенным, контролировать некоторые количественные показатели функционирования системы массового обслуживания. Такими показателями, в частности являются среднее время пребывания клиента в очереди или доля времени, в течение которой обслуживающая система простаивает. При этом в первом случае мы оцениваем систему с позиции «клиента», тогда как во втором случае мы оцениваем степень загруженности обслуживающей системы. Путем варьирования операционными характеристиками обслуживающей системы может быть достигнут разумный компромисс между требованиями «клиентов» и мощностью обслуживающей системы.

1. Теоретическая часть

1.1 Классификация СМО

Системы массового обслуживания (СМО) классифицируются по разным признакам, что подробно изображено на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1. Классификация СМО

По числу каналов обслуживания (n) СМО разделяются на одноканальные (n = 1) и многоканальные (n > 2). К одноканальным СМО в торговле можно отнести практически любой вариант локального обслуживания, например выполняемый одним продавцом, товароведом, экономистом, торговым аппаратом.

В зависимости от взаимного расположения каналов системы подразделяются на СМО с параллельными и с последовательными каналами. В СМО с параллельными каналами входной поток заявок на обслуживание является общим, и поэтому заявки в очереди могут обслуживаться любым свободным каналом. В таких СМО очередь на обслуживание можно рассматривать как общую.

В многоканальной СМО с последовательным расположением каналов каждый канал может рассматриваться как отдельная одноканальная СМО, или фаза обслуживания. Очевидно, выходной поток обслуженных заявок одной СМО является входным потоком для последующей СМО.

В зависимости от характеристик каналов обслуживания многоканальные СМО подразделяются на СМО с однородными и неоднородными каналами. Отличие состоит в том, что в СМО с однородными каналами заявка может обслуживаться любым свободным каналом, а в СМО с неоднородными каналами отдельные заявки обслуживаются только специально для этой цели предназначенными каналами, например кассы для оплаты одного-двух предметов в универсаме.

В зависимости от возможности образования очереди СМО подразделяются на два основных типа: СМО с отказами обслуживания и СМО с ожиданием (очередью) обслуживания.

В СМО с отказами возможен отказ в обслуживании, если все каналы уже заняты обслуживанием, а образовывать очередь и ожидать обслуживания нельзя. Примером такой СМО является стол заказов в магазине, в котором прием заказов осуществляется по телефону.

В СМО с ожиданием, если заявка находит все каналы обслуживания занятым, то она ожидает, пока не освободится хотя бы один из каналов.

СМО с ожиданием подразделяются на СМО с неограниченным ожиданием или с неограниченной очередью lоч и временем ожидания Точ и СМО с ограниченным ожиданием, в которых накладываются ограничения или на максимально возможную длину очереди (max lоч = m), или на максимально возможное время пребывания заявки в очереди (max Точ = Тогр), или на время работы системы.

В зависимости от организации потока заявок СМО подразделяются на разомкнутые и замкнутые.

В разомкнутых СМО выходной поток обслуженных заявок не связан с входным потоком заявок на обслуживание. В замкнутых СМО обслуженные заявки после некоторой временной задержки Тз снова поступают на вход СМО и источник заявок входит в состав СМО. В замкнутой СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных заявок, например, посуда в столовой - через торговый зал, мойку и раздачу. Пока потенциальная заявка циркулирует и не преобразовалась на входе СМО в заявку на обслуживание, считается, что она находится в линии задержки.

Типовые варианты СМО определяются также и установленной дисциплиной очереди, которая зависит от преимущества в обслуживании, т.е. приоритета. Приоритет отбора заявок на обслуживание может быть следующий: первый пришел - первый обслужен; последний пришел - первый обслужен; случайный отбор. Для СМО с ожиданием и обслуживанием по приоритету возможны следующие виды: абсолютный приоритет, например для сотрудников контрольно-ревизионного управления, министра; относительный приоритет, например для директора торга на подведомственных ему предприятиях; специальные правила приоритета, когда обслуживание заявок оговорено в соответствующих документах. Существуют и другие типы СМО: с поступлением групповых заявок, с каналами разной производительности, со смешанным потоком заявок.

Совокупности СМО разных типов, объединенные последовательно и параллельно, образуют более сложные структуры СМО: секции, отделы магазина, универсама, торговой организации и т.п. Такое моделирование позволяет выявить существенные связи в торговле, применить методы и модели теории массового обслуживания для их описания, оценить эффективность обслуживания и разработать рекомендации по его совершенствованию.

1.2 Примеры СМО

Примерами СМО могут служить:

телефонные станции;

ремонтные мастерские;

билетные кассы;

справочные бюро;

магазины;

парикмахерские.

Как своеобразные системы массового обслуживания могут рассматриваться:

информационно-вычислительные сети;

операционные системы электронных вычислительных машин;

системы сбора и обработки информации;

автоматизированные производственные цехи, поточные линии;

транспортные системы;

системы противовоздушной обороны.

Близкими к задачам теории массового обслуживания являются многие задачи, возникающие при анализе надежности технических устройств.

Случайный характер, как потока заявок, так и длительности обслуживания приводит к тому, что в СМО будет происходить какой-то случайный процесс. Чтобы дать рекомендации по рациональной организации этого процесса и предъявить разумные требования к СМО, необходимо изучить случайный процесс, протекающий в системе, описать его математически. Этим и занимается теория массового обслуживания.

Заметим, что область применения математических методов теории массового обслуживания непрерывно расширяется и все больше выходит за пределы задач, связанных с обслуживающими организациями в буквальном смысле слова.

Число моделей систем (сетей) обслуживания, используемых на практике и изучающихся в теории, очень и очень велико. Даже для того, чтобы описать схематично основные их типы, требуется не один десяток страниц. Мы рассмотрим только системы с очередью. При этом будем предполагать, что эти системы являются открытыми для вызовов, т.е., заявки, поступают в систему извне (в некотором входном потоке), каждому из них требуется конечное число обслуживаний, по окончании последнего из которых заявка навсегда покидает систему; а дисциплины обслуживания таковы, что в любой момент времени каждый прибор может обслуживать не более одного вызова (другими словами, не допускается параллельного обслуживания двух и более заявок одним прибором).

Во всех случаях мы обсудим условия, которые гарантируют стабильную работу системы.

2 . Расчётная часть

2.1 Первый этап. Система с отказами

На данном этапе проведём минимизацию средней стоимости обслуживания одной заявки в единицу времени для системы с отказами. Для этого определим число каналов обслуживания, обеспечивающее в системе с отказами наименьшее значение параметра - средней стоимости обслуживания одной заявки в единицу времени.

В соответствии с вариантом задания определены следующие параметры системы:

интенсивность входного потока (среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени) 1/ед. времени.

среднее время обслуживания одной заявки ед. времени;

стоимость эксплуатации одного канала ед. стоим./канал;

стоимость простоя одного канала ед. стоим./канал;

стоимость эксплуатации одного места в очереди

ед. стоим./заявка в очереди;

стоимость убытков, связанных с уходом заявки из системы, получившей отказ в обслуживании ед. стоим.ед. врем.

Задавая значения (число каналов обслуживания) от единицы до шести, вычислим финальные вероятности и в соответствии с ними показатели эффективности системы. Результаты вычислений приведены в Таблица 2.1 и Таблица 2.2, а также показаны на графиках функций, приведённых на Рисунок 2.1.

Выполним расчеты по формулам 2.1.

Вероятность того, что занят один (в данном случае все) канал равна:

Так как канал всего один, то.

1/ед. времени.

Коэффициент загрузки равен:

ед. времени.

Так как анализируемая система с отказами не имеет очереди, то среднее число заявок, находящихся в очереди равно нулю при любом числе каналов обслуживания.

Вычислим показатели эффективности для системы с отказами при.

Вероятность того, что все каналы свободны равна:

Вероятность того, что занято два (в данном случае все) канала равна:

Так как канала всего два, то.

Вероятность обслуживания заявки равна:

Абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуженных заявок в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Среднее число занятых каналов равно:

Среднее число свободных каналов равно:

Коэффициент загрузки равен:

Время пребывания заявки в системе равно:

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

Вычислим показатели эффективности для системы с отказами при.

Вероятность того, что все каналы свободны равна:

Вероятность того, что занят один канал равна:

Вероятность того, что занято три (в данном случае все) канала равна:

Так как канала всего три, то.

Вероятность обслуживания заявки равна:

Абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуженных заявок в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Среднее число занятых каналов равно:

Среднее число свободных каналов равно:

Коэффициент загрузки равен:

Время пребывания заявки в системе равно:

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

Вычислим показатели эффективности для системы с отказами при.

Вероятность того, что все каналы свободны равна:

Вероятность того, что занят один канал равна:

Вероятность того, что занято два канала равна:

Вероятность того, что занято три канала равна:

Вероятность того, что занято четыре (в данном случае все) канала равна:

Так как канала всего четыре, то.

Вероятность обслуживания заявки равна:

Абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуженных заявок в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Среднее число занятых каналов равно:

Среднее число свободных каналов равно:

Коэффициент загрузки равен:

Время пребывания заявки в системе равно:

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

Для и вычисления выполняются аналогично, поэтому подробного приводить не требуется. Результаты расчётов также внесены в Таблица 2.1 и Таблица 2.2. и показаны на Рисунок 2.1.

Таблица 2.1. Результаты расчётов для СМО с отказами

Система с отказами 1/ед. времени, ед. времени	Результирующие показатели

Таблица 2.2. Вспомогательные расчёты для СМО с отказами


ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.

Полученные расчёты позволяют сделать вывод, что наиболее оптимальным количеством каналов системы с отказами будет, так как при этом обеспечивается минимальное значение средней стоимости обслуживания одной заявки в единицу времени, экономического показателя, характеризующего систему как с точки зрения потребителя, так и с точки зрения её эксплуатационных свойств.

Рисунок 2.1. Графики результирующих показателей СМО с отказами

Значения основных показателей эффективности оптимальной СМО с отказами:

ед. времени.

Допустимое для смешенной СМО значение времени пребывания заявки в системе вычисляется по формуле 2.2.

ед. времени.

2.2 Второй этап. Смешанная система

На данном этапе изучается, соответствующая заданию, система массового обслуживания с ограничением на время пребывания в очереди. Основной задачей этого этапа является решение вопроса о возможности с введением очереди обеспечить уменьшение значения оптимального для рассматриваемой системы значения экономического показателя С и улучшить другие показатели эффективности изучаемой системы.

Задавая значения параметра (среднего времени пребывания заявки в системе), вычислим те же показатели эффективности, что и для системы с отказами. Результаты вычислений приведены в Таблица 2.3 и Таблица 2.4, а также показаны на графиках функций, приведённых на Рисунок 2.2.

Для вычисления вероятностей и основных показателей эффективности используем следующие формулы:

,

, . 2.3

Выполним расчеты по формулам 2.3.

Значение показателя одинаково для всех.

.

Вероятность того, что все каналы свободны, вычисляется по формулам:

,

, . 2.4

Вычислим несколько первых членов ряда, использую формулы 2.3:

.

Выполним остальные расчеты по формулам 2.2.

Вычислим финальные вероятности:

.

Среднее число свободных каналов равно:

Среднее число занятых каналов равно:

.

1/ед. времени.

.

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

ед. ст.

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

ед. ст.

Так как полученная средняя стоимость обслуживания одной заявки меньше аналогичного параметра оптимальной СМО с отказами

, следует увеличить.

Выполним расчёт показателей эффективности СМО с ограничением на время пребывания в очереди ед. времени.

.

Требуемая по заданию точность расчёта финальных вероятностей составляет 0,01. Для обеспечения данной точности достаточно вычислить приблизительную сумму бесконечного ряда с аналогичной точностью.

Для расчетов также используем формулы 2.2 и формулы 2.3.

.

Среднее число свободных каналов равно:

Среднее число занятых каналов равно:

канала

Вероятность обслуживания равна:

.

Абсолютная пропускная способность системы равна:

1/ед. времени.

Коэффициент загрузки системы равен:

.

Среднее число заявок в очереди равно:

Вычислим среднее время пребывания заявки в системе, которое должно удовлетворять условию ед. времени.

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

ед. ст.

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

ед. ст.

Как видно из расчётов, увеличение приводит к уменьшению средней стоимости обслуживания одной заявки. Аналогично выполним расчёты с увеличением среднего времени пребывания заявки в очереди, результаты внесём в Таблица 2.3 и Таблица 2.4, а также отобразим на Рисунок 2.2.

Таблица 2.3. Результаты расчётов для смешанной системы

Система с ограничением на время пребывания в очереди 1/ед. врем., ед. врем.	Результирующие показатели

Данные системы с отказами

Таблица 2.4. Вспомогательные расчёты для смешанной системы

К вычислению общей стоимости обслуживания заявок в единицу времени
	ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.
Данные системы с отказами

Данные системы с ограничением на время пребывания в очереди

Полученные расчёты позволяют сделать вывод, что наиболее оптимальным средним временем пребывания заявки в очереди для системы с ограничением на время пребывания в очереди следует принять, так как при этом наименьшая средняя стоимость обслуживания одной заявки, а среднее время пребывания заявки в системе не превышает допустимого, то есть условие выполняется.

Рисунок 2.2. Графики результирующих показателей смешанной системы

Значения основных показателей эффективности оптимальной СМО с ограничением на время пребывания заявки в очереди:

ед. времени.

Сравнивания показатели эффективности оптимальной системы с отказами и изучаемой оптимальной смешанной системы с ограничением на время пребывания в очереди можно заметить, кроме уменьшения средней стоимости обслуживания одной заявки, повышение загруженности системы и вероятности обслуживания заявки, что позволяет оценить исследуемую системы как более эффективную. Незначительное увеличение времени пребывания заявки в системе не влияет на оценку системы, так как ожидаемо при введении очереди.

2.3 Третий этап. Влияние производительности каналов

На этом этапе исследуем влияние производительности каналов обслуживания на эффективность системы. Производительность канала обслуживания определяется значением среднего времени обслуживания одной заявки. В качестве предмета исследования примем смешанную систему, признанную оптимальной на предыдущем этапе. Показатели эффективности этой первоначальной системы сравним с аналогичными показателями двух вариантов этой системы.

Вариант А. Система с уменьшенной производительностью каналов обслуживания за счет увеличения в два раза среднего времени обслуживания и с уменьшенными затратами, связанными с эксплуатацией и простоем оборудования.

, .

Вариант Б. Система с увеличенной производительностью каналов обслуживания за счет уменьшения в два раза среднего времени обслуживания и с увеличенными затратами, связанными с эксплуатацией и простоем оборудования.

, .

Результаты вычислений приведены в Таблица 2.5 и Таблица 2.6.

Выполним расчёт показателей эффективности СМО с уменьшенной производительностью каналов обслуживания.

ед. времени.

.

Вычислим вероятность того, что все каналы свободны.

Вычислим несколько первых членов ряда:

.

Вычислим остальные финальные вероятности:

.

Среднее число свободных каналов равно:

Среднее число занятых каналов равно:

канала

Вероятность обслуживания равна:

.

Абсолютная пропускная способность системы равна:

1/ед. времени.

Интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Коэффициент загрузки системы равен:

.

Среднее число заявок в очереди равно:

заявки.

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

ед. ст.

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

ед. ст.

Выполним расчёт показателей эффективности СМО с увеличенной производительностью каналов обслуживания.

ед. времени.

.

Вычислим вероятность того, что все каналы свободны.

Вычислим несколько первых членов ряда:

.

Вычислим остальные финальные вероятности:

.

Среднее число свободных каналов равно:

Среднее число занятых каналов равно:

канала.

Вероятность обслуживания равна:

.

Абсолютная пропускная способность системы равна:

1/ед. времени.

Интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Коэффициент загрузки системы равен:

.

Среднее число заявок в очереди равно:

заявки.

Вычислим среднее время пребывания заявки в системе.

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

ед. ст.

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

ед. ст.

Таблица 2.5. Результаты расчётов третьего этапа

Заданная смешанная система

1/ед. врем., ед. врем.

Результирующие

показатели

Первонач. вариант

Вариант А

Вариант Б

Таблица 2.6. Вспомогательные расчёты третьего этапа

К вычислению общей стоимости обслуживания заявок в единицу времени
	ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.
Первонач. вариант
Вариант А
Вариант Б

Полученные результаты показывают не целесообразность увеличивать или уменьшать производительность каналов обслуживания. Так как при уменьшении производительности каналов обслуживания возрастает среднее время пребывания заявки в системе, хотя загруженность системы близка к максимальной. При увеличении производительности большая часть каналов обслуживания простаивает, но с точки зрения потребителя система эффективна, так как вероятность обслуживания близка к единице, а время пребывания заявки в системе невелико. Данный расчёт демонстрирует два варианта системы, первый из которых эффективен с точки зрения эксплуатационных свойств и не эффективен с точки зрения потребителя, а второй - наоборот.

Заключение

В ходе выполнения курсового проекта были изучены и рассмотрены система массового обслуживания с отказами и смешанная система массового обслуживания с ограничением на время пребывания в очереди, а также исследовано влияние производительности каналов обслуживания на эффективность системы, выбранной оптимальной.

Сравнивая оптимальные СМО с отказами и смешанную систему по параметрам эффективности, наилучшей следует признать смешанную систему. Так как средняя стоимость обслуживания одной заявки в смешанной системе меньше чем аналогичный параметр в СМО с отказами на 9%.

Анализируя эффективность с точки зрения эксплуатационных свойств системы, смешанная система показывает лучшие результаты по сравнению с СМО с отказами. Коэффициент загрузки и абсолютная пропускная способность смешанной системы больше на 10%, чем аналогичные параметры у СМО с отказами. С точки зрения потребителя вывод не так очевиден. Вероятность обслуживания смешанной системы выше почти на 10%, что говорит о большей эффективности смешанной системы по сравнению с СМО с отказами. Но также наблюдается увеличение времени пребывания заявки в системе на 20%, что характеризует СМО с отказами как более эффективную по данному параметру.

В результате исследований наиболее эффективной признана оптимальная смешанная система. Данная система имеет следующие преимущества перед СМО с отказами:

меньше затраты на обслуживание одной заявки;

меньше простоя каналов обслуживания, ввиду большей загруженности;

большая доходность, так как пропускная способность системы выше;

есть возможность выдержать неравномерность интенсивности поступающих заявок (увеличение нагрузки), ввиду наличия очереди.

Исследования влияния производительности каналов обслуживания на эффективность смешанной системы массового обслуживания с ограничением на время пребывания в очереди позволяют сделать вывод, что наилучшим вариантом будет исходная оптимальная смешанная система. Так как при уменьшении производительности каналов обслуживания система очень сильно «проседает» с точки зрения потребителя. Время пребывания заявки в системе увеличивается в 3,6 раза! А при увеличении производительности каналов обслуживания система настолько легко справляется с нагрузкой, что 75% времени будет простаивать, что является другой, экономически не эффективной, крайностью.

Учитывая вышеизложенное, оптимальная смешанная система является наилучшим выбором, так как демонстрирует баланс показателей эффективности с точки зрения потребителя и эксплуатационных свойств, имея при этом наилучшие экономические показатели.

Библиографи я

1 Дворецкий С.И. Моделирование систем: учебник для студ. высш. учеб. заведений / М.: Издательский центр «Академия». 2009.

2 Лабскер Л.Г. Теория массового обслуживания в экономической сфере: Учеб. пособие для вузов / М.: ЮНИТИ. 1998.

3 Самусевич Г.А. Теория массового обслуживания. Простейшие системы массового обслуживания. Методические указания по выполнению курсового проекта. / Е.: УрТИСИ СибГУТИ. 2015.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Истоки и история становления экономического анализа. Экономический анализ в условиях царской России, в послеоктябрьский период и в период перехода к рыночным отношениям. Теория массового обслуживания, ее применение и использование при принятии решений.

контрольная работа , добавлен 03.11.2010

Экономическая система в разных научных школах. Сравнительное исследование механизма функционирования разных экономических систем. Соотношение плана и рынка (аллокация ресурсов). Виды систем: современная, традиционная, плановая и смешанная (гибридная).

курсовая работа , добавлен 25.12.2014

Исследование особенностей повременной и сдельной заработной платы. Описание аккордной, контрактной и бестарифной систем оплаты труда. Бригадная форма организации труда. Анализ факторов, влияющих на заработную плату. Обзор причин неравенства в доходах.

курсовая работа , добавлен 28.10.2013

Методология сравнительного исследования экономических систем. Развитие взглядов на доиндустриальную экономическую систему. Рыночная экономика: концептуальная схема построения и реальная действительность. Модели смешанной экономики в развивающихся странах.

книга , добавлен 27.12.2009

Сущность массового типа организации производства и область его применения, основные показатели. Главные особенности применения массового типа организации производства на конкретном предприятии. Совершенствование управления массовым типом производства.

курсовая работа , добавлен 04.04.2014

Подходы к изучению экономики и экономического процесса. Хозяйственный механизм как часть экономической системы. Виды экономических систем. Капитализм, социализм и смешанная экономика в теории и на практике. Национальные модели экономических систем.

курсовая работа , добавлен 14.04.2013

Понятие экономических систем и подходы к их классификации. Основные модели развитых стран в рамках экономических систем. Основные черты и особенности шведской, американской, германской, японской, китайской и российской моделей переходной экономики.

курсовая работа , добавлен 11.03.2010

Сущность портфельного, бюджетного, проектного подходов к оценки проектов по внедрению информационных технологий в компании. Описание традиционных финансовых и вероятностных методик определения эффективности применения корпоративных информационных систем.

реферат , добавлен 06.12.2010

Понятие производственной функции и изокванты. Классификация малоэластичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Определение и использование коэффициентов прямых затрат. Использование метода теории игр в торговле. Системы массового обслуживания.

практическая работа , добавлен 04.03.2010

Понятие и классификация экономических систем, их разновидности и сравнительное описание. Сущность и главные условия существования рынка, закономерности и направления его развития. Понятие субъекта и объекта рыночной экономики, принципы управления.