Теория очередей в примерах. Теория очередей. закономерности образования очередей и способы предсказания среднего размера очереди. Определение стационарного решения

Эта теория представляет особый раздел теории случайных процессов и использует, в основном, аппарат теории вероятностей. Первые публикации в этой области относятся к 20-м гг. XX в. и принадлежат датчанину А. Эрлангу, занимавшемуся исследованиями функционирования телефонных станций - типичных СМО, где случайны моменты вызова, факт занятости абонента или всех каналов, продолжительность разговора. В дальнейшем теория очередей нашла развитие в работах многих советских и зарубежных математиков.

Теория очередей, - раздел теории вероятностей, изучающий математические модели разного рода реальных массового обслуживания систем. Эти модели представляют собой случайные процессы специального вида, которые называются иногда процессами обслуживания. Чаще всего используется описательное определение этих процессов, поскольку формальное их построение оказывается весьма сложным и не всегда эффективным.

Теория массового обслуживания использует главным образом аппарат теории вероятностей. Основные задачи теории массового обслуживания обычно состоят в том, чтобы на основании "локальных" свойств рассматриваемых случайных процессов изучить их стационарные характеристики (если таковые существуют) или поведение этих характеристик за большой промежуток времени. Одна из главных конечных целей исследований в этой области состоит в выборе наиболее разумной организации систем массового обслуживания.

Системы массового обслуживания (СМО)-- это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.

Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами систем массового обслуживания могут служить: Магазины, банки, ремонтные мастерские, почтовые отделения, посты технического обслуживания автомобилей, посты ремонта автомобилей, персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач, аудиторские фирмы, отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий, телефонные станции и т.д.

Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида являются:

входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;

дисциплина очереди;

механизм обслуживания.

Входной поток требований. Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

Дисциплина очереди -- это важный компонент системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

- первым пришел - первый обслуживаешься;
- пришел последним -- обслуживаешься первым;
- случайный отбор заявок;
- отбор заявок по критерию приоритетности;
- ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).

Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего, следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.

Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:

- вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
- вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
- конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
- количеством и производительностью обслуживающих каналов;
- дисциплиной очереди;
- мощностью источника требований.

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания, в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

- вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;
- вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;
- относительная и абсолютная пропускная способность системы;
- средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;
- среднее время ожидания в очереди;
- средняя длина очереди;
- средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.п.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового обслуживания, различают два основных вида СМО:

- системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;
- системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.

Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на системы с ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.

В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться:

- длина очереди;
- время пребывания в очереди.

В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет обслуживание неограниченно долго, т.е. пока не подойдет очередь.

По количеству каналов обслуживания СМО подразделяются на следующие группы:

Одноканальные СМО. Она состоит из одной очереди и одного устройства обслуживания. Термин "одноканальная" говорит о том, что к устройству обслуживания ведет только один путь.

Многоканальные СМО. Обслуживание очередной заявки может начаться до окончания обслуживания предыдущей заявки. Каждый канал действует как самостоятельное обслуживающее устройство.

По кругу обслуживаемых объектов различают два вида.

Замкнутые СМО. Замкнутая система массового обслуживания - это система массового обслуживания, в которой обслуженные требования могут возвращаться в систему и вновь поступать на обслуживание. Примерами замкнутой СМО являются ремонтные мастерские, сберегательные банки.

Открытые СМО. Для открытой СМО предполагается, что исходная совокупность на столько велика, что изменение ее размеров, вследствие прибытия или возвращения обслуженной заявки в исходную совокупность не оказывает существенного влияния на вероятность появления очередной заявки. массовый обслуживание математический однофазный

Если приборы обслуживания соединяются параллельно, то такое обслуживание называется однофазным, а если приборы соединяются последовательно, то многофазным, (ряд последовательных операций).

Однофазные СМО - это однородные системы, которые выполняют одну и ту же операцию обслуживания.

Многофазные СМО - это системы, в которых каналы обслуживания расположены последовательно и выполняют различные операции обслуживания. Примером многофазной СМО являются станции технического обслуживания автомобилей.

Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего СМО выступают в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего система начинает работать как система с отказами.

В 1953 году Г. Кендалл предложил стандартные обозначения определений, которые используются исследователями без изменений. Для однофазных СМО символика Кендалла выглядит следующим образом:

A / B / n / m 2.1

Где A и B входной поток и поток обслуживания соответственно,

n - число каналов, n 1,

m - ёмкость накопителя.

Потоки случайных событий могут иметь различный вид:

- М - экспоненциальное распределение длительностей интервалов поступления заявок или длительностей обслуживания (индекс М от определяющего слова марковский процесс, т.е. такой, когда поведение процесса после момента времени t зависит лишь от состояния процесса в момент времени t и не зависит от поведения до момента времени t),
- D - детерминированное распределение длительностей интервалов поступления заявок или длительностей обслуживания,
- Ек - поток Эрланга к - го порядка для длительностей интервалов между приходами заявок или длительностей обслуживания,
- GI - рекуррентный поток (длительности интервалов статистически независимы и имеют одинаковое распределение),
- G - общий вид распределения.

Тогда в символах Кендалла вместо А и В подставляется символ одного из упомянутых потоков, например:

M/M/1 - экспоненциальные потоки с одним каналом обслуживания и неограниченной ёмкостью.

D/GI/5/10 - детерминированный входной поток, рекуррентный поток обслуживания, многоканальное СМО с 5 одинаковыми каналами, ёмкость накопителя 10 и т.д.

Этот метод, предложенный Данцигом, Кестеном и Ранненбергом (метод коллективных меток - method of collective marks) и развитый затем Г.П. Климовым (метод «катастроф»), позволяет легко получить аналитические результаты в ситуациях, когда другие известные методы приводят к трудоемким выкладкам. Особенно эффективен он оказался при анализе ненадежных и приоритетных систем массового обслуживания.

Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть требуется найти некоторое распределение, характеризующее функционирование СМО. Производящей функции этого распределения (если распределение дискретное) или его преобразованию Лапласа - Стилтьеса придается вероятностный смысл за счет «раскрашивания» запросов или введения в рассмотрение потока «катастроф». Затем вводится в рассмотрение некоторое (дополнительное) случайное событие и вероятность его подсчитывается в терминах производящей функции или преобразованию Лапласа - Стилтьеса искомого распределения двумя различными способами. В результате получается уравнение, решением которого является функция, которая интересует исследователя.

Проиллюстрируем этот метод, применив его для нахождения вероятностных характеристик системы M\G\1. Важной характеристикой производительности многих реальных систем является распределение периода занятости системы. Период занятости есть интервал времени с момента поступления запроса в пустую систему до момента, когда система впервые вновь окажется пустой. Знание периода занятости позволяет решать задачи, связанные, например, с планированием проведения в системе профилактических работ, исследованием возможности дополнительной загрузки прибора выполнением некоторой второстепенной «фоновой» работы и т.д.

Обозначим функцию стационарного распределения длины периода занятости в рассматриваемой системе, -ее преобразование Лапласа - Стилтьеса.

Считаем, что выполняется условие:

гарантирующее существование стационарного распределения длины периода занятости рассматриваемой СМО.

Утверждение 13.

Преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения длины периода занятости рассматриваемой СМО удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

Доказательство. Легко видеть, что распределение длины периода занятости системы не зависит от того, в каком порядке обслуживаются запросы. Для облегчения анализа структуры периода занятости предположим, что запросы обслуживаются в инверсионном порядке, то есть на обслуживание всегда выбирается запрос, пришедший в систему последним. Такая дисциплина выбора из очереди кодируется как LIFO (Last In - First Out) или LCFS (Last Came - First Served). При такой дисциплине выбора из очереди каждый запрос как бы порождает период занятости системы запросами, пришедшими в систему после него. Причем структура и, следовательно, распределение длины периода занятости, порожденного некоторым запросом, такие же, как структура и распределение длины периода занятости системы. Используя эти рассуждения, мы приходим к пониманию того, что период занятости системы состоит из времени обслуживания первого запроса, с которого начался период занятости, и случайного числа периодов занятости, порожденных запросами, пришедшими в систему за время обслуживания первого запроса.

Теперь предположим, что независимо от функционирования данной системы поступает простейший поток катастроф интенсивности s. Введем в рассмотрение (дополнительное) событие А, состоящее в том, что за данный период занятости не поступили катастрофы.

Напомним, что согласно вероятностной трактовке преобразования Лапласа - Стилтьеса, величина есть вероятность того, что не произойдет ни одной катастрофы за случайное время, имеющее функцию распределения H(t). Поэтому легко понять, что вероятность события А определяется следующим образом:

Найдем теперь вероятность этого же события иначе. Назовем произвольный запрос «плохим», если за период занятости, порожденный им, наступает катастрофа. Используя достигнутое нами понимание структуры периода занятости, нетрудно убедиться, что для того, чтобы запрос, с которого начался период занятости, был неплохим (вероятность этого есть Р(А)), необходимо и достаточно, чтобы за время его обслуживания не поступили события из суммарного потока катастроф и потока плохих запросов.

Поток катастроф является простейшим потока интенсивности s. Поток плохих запросов получается из исходного простейшего потока интенсивности в результате применения простейшей процедуры рекуррентного просеивания (произвольный запрос включается в просеянный поток с вероятностью независимо от других запросов). Поэтому, согласно Утверждению 6, просеянный поток является простейшим потоком интенсивности Согласно Утверждению 5, суммарный поток катастроф и плохих запросов является простейшим потоком интенсивности

Таким образом, используя еще раз вероятностную трактовку преобразования Лапласа - Стилтьеса мы получаем следующую формулу для вероятности события :

Сравнивая выражения (1.83) и (1.84), мы убеждаемся в справедливости формулы (1.82). Утверждение 13 доказано.

Уравнение (1.82), полученное Дж. Кендаллом в 1951 году, имеет единственное решение в области Res > 0, такое, что

В случае, если распределение времени обслуживания показательное, рассматриваемая система есть М|М|1 и преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения времени обслуживания имеет вид: При этом функциональное уравнение (1.82) переходит в квадратное уравнение для неизвестного преобразования Лапласа - Стилтьеса

Решая уравнение (1.85), получаем:

В этой формуле выбираем только знак чтобы полученное решение удовлетворяло условию Обращая теперь преобразование Лапласа - Стилтьеса получаем следующее выражение для производной функции распределения длины периода занятости системы М|М|1:

где функция есть модифицированная функция Бесселя первого рода.

В общем случае уравнение (1.82) можно решать методом итераций, снабдив функцию индексом в левой части уравнения и индексом в правой части. Эта процедура имеет геометрическую скорость сходимости последовательности к значению при фиксированном значении аргумента

Кроме того, путем последовательного дифференцирования уравнения (1.82) с последующей подстановкой аргумента и учета свойства 5 преобразования Лапласа - Стилтьеса, можно получить рекуррентную последовательность формул для вычисления начальных моментов распределения длины периода занятости. Так, среднее значение длины периода занятости и второй начальный момент ее распределения определяются формулой:

Как и следовало ожидать, с ростом коэффициента загрузки и приближением его значения к единице среднее значение периода занятости стремится к бесконечности.

Рассмотрим теперь другую характеристику функционирования системы M\G\1 - число запросов, обслуженных за период занятости. Обозначим

Утверждение 14. Производящая функция удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

Доказательство. Производящей функции придадим вероятностный смысл следующим образом. Каждый из запросов независимо от других назовем красным с вероятностью z и синим с дополнительной вероятностью. Произвольный запрос назовем темнокрасным, если он сам красный и за период занятости, порожденный им, в системе обслуживались только красные запросы. Введем событие А, состоящее в том, что запрос, с которого начинается период занятости, является темно-красным. Найдем вероятность этого события. С одной стороны, очевидно, что

С другой стороны, из проделанного выше анализа структуры периода занятости ясно, что для того, чтобы запрос был темно-красным, необходимо и достаточно, чтобы он сам был красным (вероятность этого равна z) и за время его обслуживания могли поступать только темно-красные запросы.

Так как поток запросов - простейший с параметром , а произвольный запрос является темно-красным с вероятностью , то поток нетемно-красных вызовов (как это следует из Утверждения 6) является простейшим с параметром Вспоминая вероятностную интерпретацию преобразования Лапласа - Стилтьеса, из приведенных рассуждений выводим следующую альтернативную формулу для вероятности события

Сравнивая формулы (1.90) и (1.91), убеждаемся в справедливости (1.89). Утверждение 14 доказано.

Уравнение (1.89) определяет единственную аналитическую в области функцию, такую, что

Следствие. Среднее число запросов, обслуженных в системе M\G\1 за один период занятости, задается формулой:

Приведем еще одно доказательство формулы Поллячека-Хинчина для производящей функции распределения вероятностей числа запросов в системе M\G\1 в моменты окончания обслуживания. Каждый из запросов, приходящих в систему, независимо от других назовем красным с вероятностью 2 и синим с дополнительной вероятностью. Введем событие А, состоящее в том что запрос, уходящий в данный момент окончания обслуживания из системы, сам красный и все запросы, остающиеся в системе в этот момент, тоже красные.

Из вероятностной интерпретации производящей функции очевидно следует, что:

где есть искомая производящая функция распределения вероятностей числа запросов в системе в моменты окончания обслуживания.

С другой стороны, для того, чтобы произошло событие А, необходимо и достаточно, чтобы все запросы, которые находились в системе в предыдущий момент окончания обслуживания (если система была непуста), были красными и за время обслуживания не пришли синие запросы, а если система была пуста, то первый пришедший запрос должен быть красным и за время его обслуживания не пришли синие запросы.

Из этих рассуждений следует, что:

Из соотношений этого соотношения и (1.92) очевидным образом следует формула Поллячека - Хинчина:

полученная нами ранее с помощью метода вложенных цепей Маркова.

В заключение подраздела найдем характеристики системы M\G\1 с дисциплиной LIFO.

Выше отмечалось, что распределение периода занятости системы M|G|1 не зависит от дисциплины обслуживания. Поэтому уравнение (1.82) определяет преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения периода занятости для всех дисциплин. Кроме того, несложно видеть, что и распределения числа запросов в системе M\G\1 при дисциплинах FIFO и LIFO совпадают и задаются формулой (1.81).

Распределение времени ожидания запроса при дисциплинах FIFO и LIFO различно. При дисциплине FIFO преобразование Лапласа - Стилтьеса стационарного распределения времени ожидания задается формулой (1.52).

Утверждение 15. При дисциплине LIFO преобразование Лапласа - Стилтьеса имеет следующий вид:

где функция является решением уравнения (1.82).

Доказательство. Введем поток катастроф и понятие «плохого» запроса, как это было сделано при доказательстве Утверждения 13. При этом функция есть вероятность того, что за время ожидания данного запроса не наступит катастрофа, а функция есть вероятность того, что произвольный запрос не является «плохим», то есть катастрофа не наступает за период занятости, порожденный этим запросом.

Учитывая сущность дисциплины LIFO и рассуждения, использованные при доказательстве Утверждения 13, получаем формулу:

где есть преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения остаточного (после момента поступления запроса, время ожидания которого мы исследуем) времени обслуживания запроса, находящегося на приборе.

Математика подобна мясорубке, она может

переработать любое мясо, но для того, чтобы

получить хорошие котлеты, нужно и хорошее мясо.

Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой вышел одновременно и шел так: в первый день прошел 1 версту, во второй день 2 версты, в третий день 3 версты, в четвертый 4 версты, в пятый 5 верст и так прибавлял каждый день по версте, пока не настиг первого. Через сколько дней второй воин настигнет первого?

Старинная задача

Основные понятия теории очередей

Многие экономические задачи связаны с системами массового обслуживания , в которых происходит удовлетворение требований на выполнение каких–либо услуг.

Исследованием систем массового обслуживания занимается теория очередей, на начальное развитие которой оказали особое влияние труды датского ученого Эрланга А.К. (1878–1929) в области проектирования и эксплуатации телефонных станций.

Общая схема системы массового обслуживания показана на рис. 11.1.

Требование на обслуживание (например, неисправный автомобиль) поступает в обслуживающую систему (автомастерскую). Если есть свободные каналы обслуживания (мастера), то требование выполняется. Если все каналы заняты, то требование ставится в очередь по определенным правилам или покидает систему не обслуженным.

Основная задача теории массового обслуживания сводится к определению оптимального соотношения между входным потоком требований и числом обслуживающих каналов, при котором общие суммарные затраты минимальны.

Общие суммарные затраты складываются из затрат обслуживания и затрат ожидания, причем по мере увеличения сервиса затраты обслуживания увеличиваются, а затраты ожидания уменьшаются.

Систему массового обслуживания можно описать, задавая следующие ее компоненты: входной поток требований, дисциплину очереди и механизм обслуживания.

Входной поток требований характеризуется вероятностным законом распределения моментов поступления требований в систему и количеством требований в каждом поступлении.

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач теории очередей, в которых поток требований является простейшим (пуассоновским) .

Простейший поток событий обладает тремя свойствами:

- стационарностью – постоянным количеством событий в единицу времени;

- отсутствием последействия – независимостью количества событий после любого момента времени от количества событий до него;

- ординарностью – практической невозможностью одновременного поступления нескольких требований.

Для простейшего потока частота наступления событий подчиняется закону Пуассона, то есть вероятность того, что за время t произойдет k событий определится

где l – количество событий в единицу времени (интенсивность потока).

Вероятность выхода из строя одной установки (k = 1) при отказе в среднем в единицу времени двух установок (l = 2)

Вероятность отсутствия вышедших из строя установок за любой случайный час – 13%, вероятность выхода из строя одной установки – 27%, двух – 27%, трех – 18%, четырех – 9% и т.д. (рис. 1.2).

Рис. 10.2. Распределение Пуассона для l = 2

По теореме сложения вероятностей вероятность суммы независимых событий равна сумме вероятностей этих событий, отсюда вероятность отказа в единицу времени не более четырех установок равна сумме вероятности отсутствия отказа и вероятностей отказа одной, двух, трех, четырех установок:

Вероятность отказа более четырех установок

P (m >4) = 1– 0,945 = 0,055.

Дисциплина очереди описывает порядок обслуживания требований в системе. Длина очереди может быть ограниченной или неограниченной. Правила постановки в очередь: FIFO – «первым пришел первым обслуживаешься», LIFO – «последним пришел первым обслуживаешься», по другим приоритетам или случайно.

Механизм обслуживания характеризуется продолжительностью процедур обслуживания и количеством одновременно обслуживаемых требований.

Время обслуживания требований в системе является случайной величиной и обычно описывается экспоненциальным законом распределения , то есть распределение длительности оставшейся части работ по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.

Вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t , определяется формулой:

где m – величина, обратная среднему времени обслуживания:

Введем в рассмотрение параметр a – коэффициент загрузки системы или среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие требования:

где l – среднее число требований, поступающих в единицу времени; m – среднее число требований, удовлетворяемых в единицу времени; Т обс – среднее время обслуживания одним каналом одного требования.

Заметим, что если a меньше количества каналов обслуживания, то очередь не может расти безгранично, то есть число обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования.

Различают следующие виды систем массового обслуживания.

В зависимости от условий ожидания требованием начала обслуживания различают системы массового обслуживания с отказами и с ожиданием.

В системах с отказами требования, поступающие в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и утрачиваются.

В системах с ожиданием требование, застав все обслуживающие каналы занятыми, ставится на очередь вплоть до освобождения любого из каналов.

Системы, допускающие очередь, но с ограниченным числом требований в ней, называются системами с ожиданием и ограниченной длиной очереди .

Системы, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называются системами с ограниченным временем ожидания .

Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным числом циркулирующих в системе требований, называются системами с ограниченным потоком требований .

По числу каналов обслуживания различают одноканальные и многоканальные системы .

По числу фаз обслуживания – однофазные и многофазные (последовательная обработка требований на нескольких каналах).

Очереди и управление ими – один из важнейших аспектов операционного менеджмента. Знать, как обращаться с ними, необходимо при составлении графиков, проектировании операций, планировании товарно-материальных запасов и т.д.

Существование очередей – это нормальное состояние произв. системы; ими довольно эффективно можно управлять с помощью средств системного менеджмента и проектирования.

Хар-ки входящих потоков:

1) вид входящего потока (управляемый, неуправляемый);

2) размер единицы входящего потока заявок: (одиночная заявка, групповая заявка);

3) распределение входящего потока (равномерное, экспоненциальное или пуассоновское, другое);

Очередь очередь очереди и ушел).

Параметры очередей:

1) длина очереди (бесконечная, ограниченная пропускной способностью);

2) кол-во очередей (однолинейная, многолинейная);

3) дисциплина очереди (первым прибыл, первым обслужен; первоочередное обслуживание клиентов с наименьшим временем обслуживания; первоочередное обслуживание по предварит. заказам; первоочередное обслуживание в случае крайней необходимости; ограничение потребностью; другая дисциплина).

Структура очередей:

1. Одноканальная (однофазовая, многофазовая);

2. Многоканальная (однофазовая, многофазовая);

3. Комбинированная:

Структура с переходом многоканального обслуживания в одноканальное (однофазовая, многофазовая),

Структура альтернативного пути.

Сценарии выхода из системы клиента:

1) возвращается в исходную генеральную совокупность;

2) низкая вероятность повторного обслуживания.

4) уровень терпеливости клиентов (терпеливый - стал в очередь и ждет, нетерпеливый - прибыл, осмотрел очередь и ушел; прибыл, немного постоял в очереди и ушел). Параметры очередей

4) уровень терпеливости клиентов (терпеливый - стал в очередь и ждет, нетерпеливый - прибыл, осмотрел очередь и ушел; прибыл, немного постоял в очереди и ушел). Параметры очередей

Сущность теории очередей , основные понятия .
основных

Сущность теории очередей , основные понятия .
Это документ, в соответствии с которым происходит разбиение общего объема на совокупность основных пакетов работ, подлежащих выполнению.

Сущность теории очередей , основные понятия . Очереди

Сущность теории очередей , основные понятия . Очереди и управление ими – один из важнейших аспектов операционного менеджмента. Знать, как о. Стратегии преодоления проблем, которые обусловленные неоднородностью спроса.

Сущность теории очередей , основные понятия . Очереди

Сущность теории очередей , основные понятия . Очереди и управление ими – один из важнейших аспектов операционного менеджмента. Знать, как обращат... подробнее ».

Понятие , сущность , основные
теории основные разновидности, или направления.

Многочисленные демократические теории условно можно подразделить на три основные разновидност. Понятие , сущность , основные признаки политического режима демократии.

Найдено похожих страниц:10

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Уральский Государственный Технический Университет – УПИ»

Теория очередей. Закономерности образования очередей и способы предсказания среднего размера очереди.

По дисциплине: Теория информационных процессов и систем

Екатеринбург, 2007г.

ВВЕДЕНИЕ
1. КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ЭРЛАНГА
1.1. Составление уравнений
1.2. Определение стационарного решения
1.3. Некоторые подготовительные результаты
1.4. Определение функции распределения длительности ожидания
1.5. Средняя длительность ожидания
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
2.1. Математическая модель
2.2. Решение поставленной задачи
2.3. Анализ результатов

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Введение.

Во многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях, в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешение на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах, в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах организации в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств.

В теории систем массового обслуживания обслуживаемый объект называют требованием . В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности, например, разговор с абонентом, посадка самолета, покупка билета, получение материалов на складе.

Средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Например, к ним относятся каналы телефонной связи, посадочные полосы, мастера-ремонтники, билетные кассиры, погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах.

Системы массового отсчета с ожиданием распространены наиболее широко. Эти системы определяют так же, как системы с ограниченным входящим потоком. Их можно разделить на две группы:

1) Замкнутые - системы, в которых поступающий поток требований ограничен. Например, мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на наладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.

2) Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.

Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований.

Это можно изобразить так:

https://pandia.ru/text/78/375/images/image001_340.jpg" width="61" height="19">Входящий поток Очередь

Обслуживающие устройства Выходящий поток

Изучение СМО начинается с анализа входящего потока требований. Входящий поток требований представляет собой совокупность требований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания.

В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований и определяется следующим соотношением:

где Т - среднее значение интервала между поступлением очередных требований.

Для многих реальных процессов поток требований достаточно хорошо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называется простейшим.

Простейший поток обладает такими важными свойствами:

1) Свойством стационарности , которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных периодов времени, к примеру, в начале и в конце декады.

2) Отсутствия последействия , которое обуславливает взаимную независимость поступления того или иного числа требований на обслуживание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Например, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день месяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.

3) Свойством ординарности, которое выражает практическую невозможность одновременного поступления двух или более требований (вероятность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляется к нулю).

Первые математические работы по системам обслуживания появились в начале двадцатого века. Они были тесно связаны с практическими задачами, касавшимися вопросов обслуживания телефонных линий, определения оптимального количества касс и продавцов в торговых предприятиях, выработки правил расчета запасов в магазинах, достаточных для их бесперебойной работы. Среди этих работ особо важное место занимают исследования датского ученого.

1. Классическая задача Эрланга.

Рассмотрим классическую задачу Эрланга: На m одинаковых приборов поступает простейший поток требований интенсивности l . Если в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный прибор, оно немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то вновь поступившее требование становится в очередь за всеми теми требованиями, которые поступили раньше и еще не начали обслуживаться. Освободившийся прибор немедленно приступает к обслуживания очередного требования, если только имеется очередь. Каждое требование обслуживается только одним прибором, и каждый прибор обслуживает в каждый момент не более одного требования.

Длительность обслуживания представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x) .

За x берем время (часы, минуты и т. д.).

Предполагается, что при x ³ 0

F(x) = 1 - e- m x

где m > 0 - постоянная.

Эрланг решил эту задачу, имея в виду постановки вопросов возникших к тому времени в телефонном деле.

Выбор распределения вероятностей F(x) для описания деятельности обслуживания произведен не случайно. Дело в том, что в этом предположении задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной для практики точности описывает ход интересующего нас процесса. Мы увидим, что распределение вероятностей F(x) играет в теории массового обслуживания исключительную роль, которая в значительной мере вызвана следующим свойством:

При показательном распределении длительности обслуживания распределение деятельности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.

Действительно, пусть fa(t) означает вероятность того, что обслуживание, которое уже продолжается время a , продлится еще не менее чем t . В предположении, что длительность обслуживания распределена показательно, f0(t)=e- m t .

f 0 (a )= e - m a и f 0 (a + t )= e - m (a +1) .

А так как всегда

f0(a+t) = f0(a) fa(t), то e- m (a+t) = e- m a f0(t)

и, следовательно,

fa(t) = e- m t = fo(t).

Требуемое доказано.

Несомненно, что в реальной обстановке показательное время обслуживания является, как правило, лишь грубым приближением к действительности. Так, нередко время обслуживания не может быть меньше, чем некоторая определенная величина. Предположение распределения вероятностей F(x) приводит к тому, что значительная доля требований нуждается лишь в кратковременной операции близкой к 0. Позднее перед нами возникает задача освобождения от излишнего ограничения, накладываемого предположением распределения вероятностей F(x) . Необходимость этого была ясна уже самому Эрлангу, и он в ряде работ делал усилия найти иные удачные распределения для длительности обслуживания. В частности, им было предложено так называемое распределение Эрланга , плотность распределения которого дается формулой

где, m > 0, а k - целое положительное число.

Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы k независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение вероятностей F(x)

Обозначим для случая распределения вероятностей F(x) через h время обслуживания требования. Тогда средняя длительность обслуживания равна

Это равенство дает нам способ оценки параметра m по опытным данным. Как легко вычислить, дисперсия длительности обслуживания равна

1. Составление уравнений.

Система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет собой случайный процесс Маркова.

Найдём те уравнения, которым удовлетворяют вероятности Pk(t). Одно из уравнений очевидно, а именно для каждого t

Найдем сначала вероятность того, что в момент t+h все приборы свободны. Это может произойти следующими способами:

В момент t все приборы были свободны и за время h новых требований не поступало;

В момент t один прибор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны; за время h обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило.

Остальные возможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на них была закончена - имеют вероятность o(h), как легко в этом убедится.

Вероятность первого из указанных событий равна

вероятность второго события

Таким образом,

Отсюда очевидным образом приходим к уравнению

Перейдем теперь к составлению уравнений для Pk(t) при k ³ 1. Рассмотрим отдельно два различных случая:

1) Пусть вначале 1 £ k < m . Перечислим только существенные состояния, из которых можно прийти в состояние Ek в момент t+h . Эти состояния таковы:

В момент t Ek , за время h новых требований не поступило, и ни один прибор не окончил обслуживания. Вероятность этого события равна

В момент t система находилась в состоянии Ek-1 , за время h поступило новое требование, но ни одно ранее находившееся требование не было закончено обслуживанием. Вероятность этого события равна

В момент t система находилась в состоянии Ek+1 , за время h новых требований не поступило, но одно требование было обслужено. Вероятность этого равна

Все остальные мыслимые возможности перехода в состояние Ek за промежуток времени h имеют вероятность, равную 0(h).

Собрав воедино найденные вероятности, получаем следующее

равенство:

Несложные преобразования приводят нас к такому уравнению

для 1 £ k < m:

2) Подобные же рассуждения для k ³ m приводят к уравнению

Для определения вероятностей Pk(t) мы получили бесконечную систему дифференциальных уравнений. Ее решение представляет несомненные технические трудности.

2. Определение стационарного решения.

В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение для t ® ¥ . Существование таких решений устанавливается так называемыми эргодическими теоремами. В рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введем для них обозначения Pk . Заметим, что при t ® ¥ .

Сказанное позволяет заключить, что уравнения

для стационарных вероятностей принимают следующий вид:

при 1 £ k < m

при k ³ m

К этим уравнениям добавляется нормирующее условие

Для решения полученной бесконечной алгебраической системы введем обозначения:

при 1 £ k < m

при k ³ m

Система уравнений в этих обозначениях принимает такой вид:

z1 = 0, zk - zk+1 = 0 при k ³ 1

Отсюда заключается, что при всех k ³ 1 zk = 0

т. е. при 1 £ k < m

k m Pk = l Pk-1

и при k ³ m

m m Pk= l Pk-1

Введем для удобства записи обозначение

r = l / m .

Уравнение k m Pk = l Pk-1 позволяет заключить, что при 1 £ k < m

При k ³ m из уравнения m m Pk= l Pk-1 находим, что

и следовательно, при k ³ m

Остается найти P0. Для этого в подставляем выражения полученного Pk.

В результате

Так бесконечная сумма, стоящая в квадратных скобках, находится только при условии, что

r < m

то при этом положении находим равенство

Если условие r < m не выполнено, т. е. если r ³ m, то ряд, стоящий в квадратной скобке уравнения для определения P0 , расходится и, значит, P0 должно быть равно 0..gif" width="71" height="44 src=">при всех k ³ 1 оказывается Pk = 0.

Методы теории цепей Маркова позволяют заключить, что при r ³ m с течением времени очередь стремится к ¥ по вероятности.

3. Некоторые подготовительные результаты.

Для задачи с ожиданием основной характеристикой качества обслуживания является длительность ожидания требованием начала обслуживания. Длительность ожидания представляет собой случайную величину, которую обозначим буквой g . Рассмотрим сейчас только задачу определения распределения вероятностей длительности ожидания в уже установившемся процессе обслуживания. Обозначим далее через P { g > t } вероятность того, что длительность ожидания превзойдет t, и через Pk { g > t } вероятность неравенства, указанного в скобке, при условии, что в момент поступления требования, в очереди уже находится k требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство

P { g > t } = .

Прежде чем преобразовать эту формулу к виду, удобному для пользования, приготовим некоторые необходимые нам для дальнейшего сведения.

Вычислим теперь вероятность того, что все приборы будут заняты в какой-то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность равна

4. Определение функции распределения длительности ожидания.

Если в момент поступления требования в очереди уже находились k - m требований, то поскольку обслуживание происходит в порядке очередности, вновь поступившее требование должно ожидать, когда будут обслужены

k – m + 1 требований.

Пусть qs(t) означает вероятность того, что за промежуток времени длительности t после поступления интересующего нас требования закончилось обслуживание ровно S требований. Ясно, что k ³ m имеет место равенство

Так как распределение длительности обслуживания предположено показательным и независящим ни от того, сколько требований находится в очереди, ни от того, как велики длительности обслуживания других требований, то вероятность за время t не завершить ни одного обслуживания (т. е. вероятность того, что не освободится ни один из приборов) равна

Если все приборы заняты обслуживанием и еще имеется достаточная очередь требований, которые ожидают обслуживания, то поток обслуженных требований будет простейшим. Действительно, в этом случае все три условия - стационарность, отсутствие последействия и ординарность - выполнены. Вероятность освобождения за промежуток времени t ровно s приборов равна (это можно показать и простым подсчетом)

и, следовательно,

Но вероятности Pk известны:

очевидными преобразованиями приводим правую часть последнего равенства к виду

Из формул и следует, что , поэтому при t>0

Само собой разумеется, что при t<0 .

Функция имеет в точке t = 0 разрыв непрерывности, равный вероятности застать все приборы занятыми.

5. Средняя длительность ожидания.

Формула позволяет находить все интересующие нас числовые характеристики длительности ожидания. В частности, математическое ожидание длительности ожидания начала обслуживания или, как предпочитают говорить, средняя длительность ожидания равна

Несложные вычисления приводят к формуле

Дисперсия величины g равна

Формула дает среднюю длительность ожидания одного требования. Найдем среднюю потерю времени требованиями, пришедшими в систему обслуживания в течение промежутка времени T . За время T в систему поступает l T требований в среднем; общая потеря ими времени на ожидание в среднем равна

Приведем небольшие арифметические подсчеты, которые продемонстрируют нам, как быстро возрастают суммарные потери времени па ожидание с изменением величины . При этом мы ограничиваемся случаем Т=1 и рассматриваем лишь самые малые значения т: т = 1 и т = 2.

При т=1 в силу (20)

При р = 0,1; 0,3; 0,5; 0,9 значение приблизительно равно 0,011; 0,267; 0,500; 1,633; 8,100.

При m = 2 в силу (24)

При = 0,1; 1,0; 1,5; 1,9 значение приблизительно равно 00003; 0,333; 1,350; 17,537.

Приведённые данные иллюстрируют хорошо известный факт относительно большой чувствительности систем обслуживания, уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию загрузки. Потребитель при этом сразу ощущает значительное возрастание длительности ожидания. Этот факт обязательно следует учитывать при расчёте загрузки оборудования в системах массового обслуживания.

Постановка задачи.

На станции технического обслуживания (СТО) легковых автомобилей имеется 7 рабочих мест по обслуживанию клиентов. По статистическим данным в час поступает 2 заявки на обслуживания легковых автомобилей. Среднее время обслуживания 1 заявки составляет 3 часа 24 минуты.

Если поступивший клиент застает на СТО весь рабочий персонал занятым, то он встает в очередь и ждет до тех пор, пока не освободится рабочее место.

Каждый мастер, в любой момент времени, может обслуживать не более одного клиента. Обслуженный клиент покидает СТО.

Проанализировать структуру и процесс обслуживания СТО. Для этого требуется разработать показатели эффективности систем массового обслуживания. Например, требуется знать: вероятность того, что занято или свободно k приборов; распределение вероятностей свободных или занятых приборов от обслуживания; вероятность того, что в очереди находится заданное число требований; вероятность того, что время ожидания в очереди превысит заданное. К показателям, характеризующих эффективное функционирование системы в среднем, относятся: средняя длина очереди; среднее число занятых приборов; коэффициент загрузки системы.

1. Математическая модель.

Имеем систему массового обслуживания, из n = 7 идентичных приборов, на которую поступает поток требований α = 2, интенсивностью β = 0,29411(1/ч).

При простейшем потоке требований распределение требований, поступающих в систему подчиняются закону распределения Пуассона:

вероятность DIV_ADBLOCK97">

где https://pandia.ru/text/78/375/images/image057_47.gif" width="231 height=25" height="25">

где https://pandia.ru/text/78/375/images/image059_45.gif" width="15 height=28" height="28">.gif" width="716 height=299" height="299">

Рис.1. Требование в системе.

Пусть D t – достаточно малый промежуток времени. Вероятность того, что в СМО за время D t не поступит ни одного требования:

Вероятность того, что в СМО за время Dt поступит одно требование:

Вероятность того, что за время Dt в СМО поступит два или более требований:

Вероятность того, что за время Dt требование будет обслужено:

Вероятность того, что за время Dt будет обслужено два или более требования:

Вероятность того, что за время Dt будет обслужено одно из к требований, находящихся в системе, найдем следующим образом:

Https://pandia.ru/text/78/375/images/image069_37.gif" width="381 height=48" height="48">;